Velkommen til

MEK1100 - Feltteori og Vektoranalyse

Våren 2021

Foreleser: Mikael Mortensen (mikaem@math.uio.no)

Gruppelærere:

MEK1100 - litt praktisk informasjon

Mekanikk brukes om mye forskjellig

MEK1100 – Feltteori og vektoranalyse

Mekanikk i MEK1100

  • Læren om bevegelse og om krefter som kan forårsake bevegelse
  • Klassisk Newtonsk fysikk: $\boxed{m \vec{a} = \sum Krefter}$
  • Kontinuumsmekanikk!

MEK1100 – Feltteori og vektoranalyse

I MEK1100 vil det være mye snakk om skalarfelt og vektorfelt

Fra P.C. Matthews kapittel 1:

  • En skalar er noe som kun har størrelse og som dermed kan beskrives med ett tall
  • En vektor er noe som har både størrelse og retning. En vektor i rommet er beskrevet av like mange tall som det er dimensjoner.

Fra P.C. Matthews kapittel 1:

  • Et felt er noe (en fysisk mengde) som avhenger av posisjon
    • Et skalarfelt er dermed noe hvis størrelse avhenger av posisjon
    • Et vektorfelt er noe hvis størrelse og retning avhenger av posisjon

Skalarfelt

For eksempel:

  • Temperatur
  • Trykk
  • Fart
  • Nedbørsmengde

Konturplott for trykk

Vektorfelt

For eksempel:

  • Hastighet på fluid
  • Magnetfelt
  • Elektrisk felt
  • Gravitasjonsfelt

Konturplott trykk med hastighetsvektorer

Andre måter å presentere det samme

Konturlinjer av trykk med vektorer

Hevet konturplott for trykk med vektorer

Konturer av strømlinjer farget av trykk

I MEK1100 skal vi lære om

Fundamentale grunnstener for likningene som beskriver den synlige delen av naturen rundt oss

Modellering

  • Hvordan bruke feltteori for å beskrive fluider
  • Visulisering av felter (programmeringsverktøy)
  • Data-analyse - I oblig 2 skal vi analysere data fra laboratoriet til fluidmekanikk seksjonen
  • Demonstrasjonsforsøk
  • Numerisk beregning av felt

Matematikk

En praktisk anvendelse av MAT1110

  • Partielle deriverte og differensiallikninger
  • Linje-, flate- og volumintegraler
  • Gradienter av felter $\nabla \beta(x,y,z)$
  • Divergens av felter $\nabla \cdot \vec{u}(x, y, z)$
  • Kryss-produkter $\vec{a} \times \vec{b}$
  • Virvling (curl) $\nabla \times \vec{u}$

For eksempel turbulens

Isotropic turbulence
Isotropic turbulence

Beskrevet av Navier-Stokes likningene

\[\begin{align*} \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{u} \vec{u} &= -\frac{1}{\rho}\nabla p + \nu \nabla^2 \vec{u} \\ \nabla \cdot \vec{u} &= 0 \end{align*} \]
Isotropic turbulence \[ \begin{align*} \color{green}{\frac{\partial \vec{u}}{\partial t}} + \color{magenta}{\nabla \cdot \vec{u} \vec{u}} &= -\frac{1}{\rho}\color{red}{\nabla p} + \color{gray}{\nu \nabla^2 \vec{u}} \\ \color{blue}{\nabla \cdot \vec{u}} &= 0 \end{align*} \]
  • $\color{green}{\frac{\partial \vec{u}}{\partial t}}\text{ - Partiell tidsderivert}$
  • $\color{blue}{\nabla \cdot \vec{u}} \text{ - Divergens av vektor}$
  • $\color{red}{\nabla p} \text{ - Gradient av skalar}$
  • $\color{magenta}{\nabla \cdot \vec{u} \vec{u}}\text{ - Divergens av ytre produkt}$
    $\text{mellom to vektorer}$
  • $\color{gray}{\nu \nabla^2 \vec{u}\left(= \nu\nabla \cdot \nabla \vec{u} \right)}\text{ - Divergens av}$
    $\text{gradient av vektor}$

Eller Rayleigh-Bénard konveksjon

Rayleigh-Bénard flow

Temperatur mellom to plater som holdes ved forskjellig temperatur

Isotropic turbulence

Navier Stokes + temperatur

\[\begin{align*} \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{u}\vec{u} &= -\frac{1}{\rho}\nabla p + \nu \nabla^2 \vec{u} + T \mathbf{k} \\ \nabla \cdot \vec{u} &= 0 \\ \frac{\partial T}{\partial t} + \vec{u}\cdot \nabla T &= \kappa \nabla^2 T \end{align*}\]

For spesielt interesserte

Alle simuleringene over er gjort på supercomputere med Python-baserte koder

github.com/spectralDNS

Programmeringsverktøy

https://jupyterhub.uio.no