Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering
- Pensum
- Kapittel 1 i Matthews
- Kapittel 1 i Gjevik og Fagerland
- Mål
- Lære å regne med vektorer
- Utforske bruk av vektorer i Geogebra
- Skalering av likninger
Vektorer og punkter - 2D
Et punkt har to koordinater i $\mathbb{R}^2$
P: $(x, y)$
En vektor har to komponenter som skalerer to enhetsvektorer: $\vec{r} = x \color{red}{\mathbf{i}} + y \color{green}{\mathbf{j}}$
Vektorer og punkter - 3D
Et punkt har tre koordinater i $\mathbb{R}^3$
P: $(x, y, z)$
En vektor har tre komponenter som skalerer tre enhetsvektorer $\vec{r} = x \color{red}{\mathbf{i}} + y \color{green}{\mathbf{j}} + z \color{aqua}{\mathbf{k}}$
Posisjonsvektor vs vanlig
En posisjonsvektor starter
alltid i origo
En vanlig vektor er en
funksjon av posisjon
Vektor addisjon
2 dimensjoner
| $\vec{u}=$ | $u_x\mathbf{i}$ | $+ u_y \mathbf{j}$ |
| $\vec{v}=$ | $v_x\mathbf{i}$ | $+ v_y \mathbf{j}$ |
| $\vec{u} + \vec{v}=$ | $(u_x+v_x)\mathbf{i}$ | $+ (u_y+v_y)\mathbf{j}$ |
3 dimensjoner
| $\vec{u}=$ | $u_x\mathbf{i}$ | $+ u_y \mathbf{j}$ | $+ u_z \mathbf{k}$ |
| $\vec{v}=$ | $v_x\mathbf{i}$ | $+ v_y \mathbf{j}$ | $+ v_z \mathbf{k}$ |
| $\vec{u} + \vec{v}=$ | $(u_x+v_x)\mathbf{i}$ | $+ (u_y+v_y)\mathbf{j}$ | $+ (u_z+v_z)\mathbf{k}$ |
Vektor subtraksjon
2 dimensjoner
| $\vec{u}=$ | $u_x\mathbf{i}$ | $+ u_y \mathbf{j}$ |
| $\vec{v}=$ | $v_x\mathbf{i}$ | $+ v_y \mathbf{j}$ |
| $\vec{u} - \vec{v}=$ | $(u_x-v_x)\mathbf{i}$ | $+ (u_y-v_y)\mathbf{j}$ |
3 dimensjoner
| $\vec{u}=$ | $u_x\mathbf{i}$ | $+ u_y \mathbf{j}$ | $+ u_z \mathbf{k}$ |
| $\vec{v}=$ | $v_x\mathbf{i}$ | $+ v_y \mathbf{j}$ | $+ v_z \mathbf{k}$ |
| $\vec{u} - \vec{v}=$ | $(u_x-v_x)\mathbf{i}$ | $+ (u_y-v_y)\mathbf{j}$ | $+ (u_z-v_z)\mathbf{k}$ |
Vektor algebra er komponentvis
$ \begin{align*} \begin{pmatrix}{\red{u_x} \\ \green{u_y} \\ \aqua{u_z}}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}{\red{v_x} \\ \green{v_y} \\ \aqua{v_z}}\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}\red{u_x + v_x} \\ \green{u_y + v_y} \\ \aqua{u_z + v_z} \end{pmatrix} \\ \end{align*} $ $ \begin{align*} \begin{pmatrix}{\red{u_x} \\ \green{u_y} \\ \aqua{u_z}}\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}{\red{v_x} \\ \green{v_y} \\ \aqua{v_z}}\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}\red{u_x - v_x} \\ \green{u_y - v_y} \\ \aqua{u_z - v_z} \end{pmatrix} \\ \end{align*} $Vektor skalering
En vektor skaleres komponentvis
$ \begin{align*} \alpha \vec{u} &= \alpha(u_x \red{\mathbf{i}} + u_y \green{\mathbf{j}} +u_z \aqua{\mathbf{k}}) \\ &= (\alpha u_x \red{\mathbf{i}} + \alpha u_y \green{\mathbf{j}} + \alpha u_z \aqua{\mathbf{k}}) \end{align*} $På matriseform
$\alpha \begin{pmatrix}{u_x \\ u_y \\ u_z}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\alpha u_x \\ \alpha u_y \\ \alpha u_z}\end{pmatrix}$Vektor skalering endrer størrelsen, ikke retningen
(ok, kan endre til motsatt retning da)
Fart og hastighet
Fart er en skalar lik lengden av hastighetsvektoren
Fart = $|\vec{u}|$
Skalarprodukt
Skalarproduktet (prikk-produkt, dot product) mellom to vektorer gir en skalar
$ \begin{align*} \vec{u} \cdot \vec{v} &= u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z \\ \begin{pmatrix}{\red{u_x} \\ \green{u_y} \\ \aqua{u_z}}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}{\red{v_x} \\ \green{v_y} \\ \aqua{v_z}}\end{pmatrix} &= \red{u_x v_x} + \green{u_y v_y} + \aqua{u_z v_z} \\ \end{align*} $Rigorøst skalarprodukt
$\vec{u} \cdot \vec{v} = (\red{u_x \mathbf{i}} + \green{u_y \mathbf{j}} +\aqua{u_z \mathbf{k}}) \cdot (\red{v_x \mathbf{i}} + \green{v_y \mathbf{j}} +\aqua{v_z \mathbf{k}})$
$
\require{cancel}
\begin{split}
&= \red{u_x v_x \mathbf{i} \cdot \mathbf{i}} + \red{u_x} \green{v_y} \cancel{\red{\mathbf{i}} \cdot \green{\mathbf{j}}} + \red{u_x} \aqua{v_z} \cancel{\red{\mathbf{i}} \cdot \aqua{\mathbf{k}}} \\
&+ \green{u_y} \red{v_x} \cancel{\green{\mathbf{j}} \cdot \red{\mathbf{i}}} + \green{u_y v_y \mathbf{j} \cdot \mathbf{j}} + \green{u_y} \aqua{v_z} \cancel{\green{\mathbf{j}} \cdot \aqua{\mathbf{k}}} \\
&+ \aqua{u_z} \red{v_x} \cancel{\aqua{\mathbf{k}} \cdot \red{\mathbf{i}}} + \aqua{u_z} \green{v_y} \cancel{\aqua{\mathbf{k}} \cdot \green{\mathbf{j}}} + \aqua{u_z v_z \mathbf{k} \cdot \mathbf{k}} \\
&= \red{u_x v_x} + \green{u_y v_y} + \aqua{u_z v_z}
\end{split}
$
Lengden av en vektor
Pythagoras
$
\begin{align*}
|\vec{u}| &= \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}\\
&= \sqrt{u_x^2 + u_y^2}
\end{align*}
$
Geometrisk tolkning $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$
Lengden av a ganger lengden av b i retning av a
Alternativ geometrisk tolkning $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$
Lengden av b ganger lengden av a i retning av b
Likningen for et plan
Planet til høyre har a som normalvektor.
VC oppgir at likningen for planet er
$\mathbf{r} \cdot \mathbf{a} = \text{konstant}$
Hvorfor?
VC oppgir at likningen for planet er
$\mathbf{r} \cdot \mathbf{a} = \text{konstant}$
Hvorfor?
$\mathbf{r} \cdot \mathbf{a}$ er lengden av a ganger lengden av r i retning av a (p i figuren). p er den samme for alle posisjonsvektorer i planet så derfor er $\mathbf{r} \cdot \mathbf{a}$ konstant.
Kryss-produkt
$\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}$$|\vec{w}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin \alpha$
Mer om kryss-produkt
Høyrehåndsregel
$
\begin{align*}
\red{\mathbf{i}} \times \green{\mathbf{j}} &= \aqua{\mathbf{k}}\\
\aqua{\mathbf{k}} \times \red{\mathbf{i}} &= \green{\mathbf{j}}\\
\green{\mathbf{j}} \times \aqua{\mathbf{k}} &= \red{\mathbf{i}} \\
\red{{\mathbf{i}}} \times \red{\mathbf{i}} &= 0 \\
\green{{\mathbf{j}}} \times \green{\mathbf{j}} &= 0 \\
\aqua{{\mathbf{k}}} \times \aqua{\mathbf{k}} &= 0
\end{align*}
$
Utledning av kryss-produkt
$ \vec{u} \times \vec{v} = (\red{u_x \mathbf{i}} + \green{u_y \mathbf{j}} +\aqua{u_z \mathbf{k}}) \times (\red{v_x \mathbf{i}} + \green{v_y \mathbf{j}} +\aqua{v_z \mathbf{k}}) $
$
\require{cancel}
\begin{split}
&= \red{u_x v_x \cancel{\mathbf{i} \times \mathbf{i}}} + \red{u_x} \green{v_y} {\red{\mathbf{i}} \times \green{\mathbf{j}}} + \red{u_x} \aqua{v_z} \red{\mathbf{i}} \times \aqua{\mathbf{k}} \\
&+ \green{u_y} \red{v_x} \green{\mathbf{j}} \times \red{\mathbf{i}} + \green{u_y v_y \cancel{\mathbf{j} \times \mathbf{j}}} + \green{u_y} \aqua{v_z} \green{\mathbf{j}} \times \aqua{\mathbf{k}} \\
&+ \aqua{u_z} \red{v_x} \aqua{\mathbf{k}} \times \red{\mathbf{i}} + \aqua{u_z} \green{v_y} \aqua{\mathbf{k}} \times \green{\mathbf{j}} + \aqua{u_z v_z \cancel{\mathbf{k} \times \mathbf{k}}} \\
\end{split}
$
Bruker at kryss-produktet er distribuert ved addisjon
$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$
$
\require{cancel}
\begin{split}
&= \red{u_x v_x \cancel{\mathbf{i} \times \mathbf{i}}} + \red{u_x} \green{v_y} {\red{\mathbf{i}} \times \green{\mathbf{j}}} + \red{u_x} \aqua{v_z} \red{\mathbf{i}} \times \aqua{\mathbf{k}} \\
&+ \green{u_y} \red{v_x} \green{\mathbf{j}} \times \red{\mathbf{i}} + \green{u_y v_y \cancel{\mathbf{j} \times \mathbf{j}}} + \green{u_y} \aqua{v_z} \boxed{\green{\mathbf{j}} \times \aqua{\mathbf{k}}} \\
&+ \aqua{u_z} \red{v_x} \aqua{\mathbf{k}} \times \red{\mathbf{i}} + \aqua{u_z} \green{v_y} \boxed{\aqua{\mathbf{k}} \times \green{\mathbf{j}}} + \aqua{u_z v_z \cancel{\mathbf{k} \times \mathbf{k}}} \\
\end{split}
$
$
\green{\mathbf{j}} \times \aqua{\mathbf{k}} = \red{\mathbf{i}}, \quad \aqua{\mathbf{k}} \times \green{\mathbf{j}} = -\red{\mathbf{i}}
$
$
\rightarrow (\green{u_y} \aqua{v_z} - \aqua{u_z} \green{v_y}) \, \red{\mathbf{i}}
$
$
\require{cancel}
\begin{split}
&= \red{u_x v_x \cancel{\mathbf{i} \times \mathbf{i}}} + \red{u_x} \green{v_y} {\red{\mathbf{i}} \times \green{\mathbf{j}}} + \red{u_x} \aqua{v_z} \boxed{\red{\mathbf{i}} \times \aqua{\mathbf{k}}} \\
&+ \green{u_y} \red{v_x} \green{\mathbf{j}} \times \red{\mathbf{i}} + \green{u_y v_y \cancel{\mathbf{j} \times \mathbf{j}}} + \green{u_y} \aqua{v_z} {\green{\mathbf{j}} \times \aqua{\mathbf{k}}} \\
&+ \aqua{u_z} \red{v_x} \boxed{\aqua{\mathbf{k}} \times \red{\mathbf{i}}} + \aqua{u_z} \green{v_y} {\aqua{\mathbf{k}} \times \green{\mathbf{j}}} + \aqua{u_z v_z \cancel{\mathbf{k} \times \mathbf{k}}} \\
\end{split}
$
$
\red{\mathbf{i}} \times \aqua{\mathbf{k}} = \green{\mathbf{j}}, \quad \aqua{\mathbf{k}} \times \red{\mathbf{i}} = -\green{\mathbf{j}}
$
$
\rightarrow (\red{u_x} \aqua{v_z} - \aqua{u_z} \red{v_x}) \, \green{\mathbf{j}}
$
$
\begin{split}
\vec{u} \times \vec{v} &= (\green{u_y} \aqua{v_z} - \aqua{u_z} \green{v_y})\, \red{\mathbf{i}} \\
&+ (\aqua{u_z} \red{v_x} - \red{u_x}\aqua{v_z} )\, \green{\mathbf{j}} \\
&+ (\red{u_x}\green{v_y} - \green{u_y \red{v_x}}) \, \aqua{\mathbf{k}}
\end{split}
$
Huskeregel
Ta determinanten av følgende matrise
$ \begin{align*} \vec{u} \times \vec{v} &= \begin{vmatrix} \red{\mathbf{i}} & \green{\mathbf{j}} & \aqua{\mathbf{k}} \\ \red{u_x} & \green{u_y} & \aqua{u_z} \\ \red{v_x} & \green{v_y} & \aqua{v_z} \end{vmatrix} \\ &= (\green{u_y} \aqua{v_z} - \aqua{u_z} \green{v_y})\, \red{\mathbf{i}} \\ &+ (\aqua{u_z} \red{v_x} - \red{u_x} \aqua{v_z} )\, \green{\mathbf{j}} \\ &+ (\red{u_x} \green{v_y} - \green{u_y} \red{v_x})\, \aqua{\mathbf{k}} \end{align*} $Normalvektor til plan
To vilkårlige vektorer i $\mathbb{R}^3$ spenner ut et plan
Sammendrag av forrige slide
- To vektorer $\vec{u}$ og $\vec{v}$ i $\mathbb{R}^3$ spenner ut et plan
- Kryssproduktet gir en ny vektor $\vec{a}$ med retning normal til planet
$\vec{a} = \vec{u} \times \vec{v}$ - En enhetsvektor $\vec{n}_a$ med lengde 1 og samme retning som $\vec{a}$ skapes med
$\vec{n}_a = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$
Derivasjon av vektorer
Også komponentvis
$ \begin{split} \frac{d \vec{u}}{dt} &= \frac{d}{dt}\left(\red{u_x \mathbf{i}} + \green{u_y \mathbf{j}} +\aqua{u_z \mathbf{k}} \right) \\ &= \frac{d \red{u_x}}{dt} \red{\mathbf{i}} + \frac{d \green{u_y}}{dt} \green{\mathbf{j}} + \frac{d \aqua{u_z}}{dt} \aqua{\mathbf{k}} \end{split} $Siden enhetsvektorene er uavhengige av tid!
Liten repetisjon av derivasjon
$f'(x)=\frac{d f(x)}{dx} \underset{\Delta x \to 0}{\approx} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$Derivasjon av posisjonsvektor
$\vec{v} = \frac{d \vec{r}(t)}{dt} \underset{\Delta t \to 0}{\approx} \frac{\vec{r}(t+\Delta t) - \vec{r}(t)}{\Delta t}$3Blue1Brown
Anbefalt
Øvingsoppgaver i Geogebra
https://geogebra.org/groupsBruk koden SDBKY