Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering

  • Pensum
    • Kapittel 1 i Matthews
    • Kapittel 1 i Gjevik og Fagerland
  • Mål
    • Lære å regne med vektorer
    • Utforske bruk av vektorer i Geogebra
    • Skalering av likninger

Vektorer og punkter - 2D

Et punkt har to koordinater i $\mathbb{R}^2$
P: $(x, y)$

En vektor har to komponenter som skalerer to enhetsvektorer: $\vec{r} = x \color{red}{\mathbf{i}} + y \color{green}{\mathbf{j}}$

Vektorer og punkter - 3D

Et punkt har tre koordinater i $\mathbb{R}^3$
P: $(x, y, z)$

En vektor har tre komponenter som skalerer tre enhetsvektorer $\vec{r} = x \color{red}{\mathbf{i}} + y \color{green}{\mathbf{j}} + z \color{blue}{\mathbf{k}}$

Posisjonsvektor vs vanlig

En posisjonsvektor starter
alltid i origo

$\vec{r} = x \red{\mathbf{i}} + y \green{\mathbf{j}} + z \blue{\mathbf{k}}$

En vanlig vektor er en
funksjon av posisjon

$\vec{u}(x,y,z) = u_x \red{\mathbf{i}} + u_y \green{\mathbf{j}} + u_z \blue{\mathbf{k}}$

Vektor addisjon

2 dimensjoner
$\vec{u}=$$u_x\mathbf{i}$$+ u_y \mathbf{j}$
$\vec{v}=$$v_x\mathbf{i}$$+ v_y \mathbf{j}$
$\vec{u} + \vec{v}=$$(u_x+v_x)\mathbf{i}$$+ (u_y+v_y)\mathbf{j}$

3 dimensjoner
$\vec{u}=$$u_x\mathbf{i}$$+ u_y \mathbf{j}$$+ u_z \mathbf{k}$
$\vec{v}=$$v_x\mathbf{i}$$+ v_y \mathbf{j}$$+ v_z \mathbf{k}$
$\vec{u} + \vec{v}=$$(u_x+v_x)\mathbf{i}$$+ (u_y+v_y)\mathbf{j}$$+ (u_z+v_z)\mathbf{k}$

Vektor subtraksjon

2 dimensjoner
$\vec{u}=$$u_x\mathbf{i}$$+ u_y \mathbf{j}$
$\vec{v}=$$v_x\mathbf{i}$$+ v_y \mathbf{j}$
$\vec{u} - \vec{v}=$$(u_x-v_x)\mathbf{i}$$+ (u_y-v_y)\mathbf{j}$

3 dimensjoner
$\vec{u}=$$u_x\mathbf{i}$$+ u_y \mathbf{j}$$+ u_z \mathbf{k}$
$\vec{v}=$$v_x\mathbf{i}$$+ v_y \mathbf{j}$$+ v_z \mathbf{k}$
$\vec{u} - \vec{v}=$$(u_x-v_x)\mathbf{i}$$+ (u_y-v_y)\mathbf{j}$$+ (u_z-v_z)\mathbf{k}$

Vektor algebra er komponentvis

$ \begin{align*} \begin{pmatrix}{\red{u_x} \\ \green{u_y} \\ \blue{u_z}}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}{\red{v_x} \\ \green{v_y} \\ \blue{v_z}}\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}\red{u_x + v_x} \\ \green{u_y + v_y} \\ \blue{u_z + v_z} \end{pmatrix} \\ \end{align*} $ $ \begin{align*} \begin{pmatrix}{\red{u_x} \\ \green{u_y} \\ \blue{u_z}}\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}{\red{v_x} \\ \green{v_y} \\ \blue{v_z}}\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}\red{u_x - v_x} \\ \green{u_y - v_y} \\ \blue{u_z - v_z} \end{pmatrix} \\ \end{align*} $

Vektor skalering

En vektor skaleres komponentvis

$ \begin{align*} \alpha \vec{u} &= \alpha(u_x \red{\mathbf{i}} + u_y \green{\mathbf{j}} +u_z \blue{\mathbf{k}}) \\ &= (\alpha u_x \red{\mathbf{i}} + \alpha u_y \green{\mathbf{j}} + \alpha u_z \blue{\mathbf{k}}) \end{align*} $

På matriseform

$\alpha \begin{pmatrix}{u_x \\ u_y \\ u_z}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\alpha u_x \\ \alpha u_y \\ \alpha u_z}\end{pmatrix}$

Vektor skalering endrer størrelsen, ikke retningen
(ok, kan endre til motsatt retning da)

Fart og hastighet

Fart er en skalar lik lengden av hastighetsvektoren

Fart = $|\vec{u}|$