Forelesning 2

Fortsettelse kapittel 1

Skalar og vektorfelt

Skalarprodukt

Skalarproduktet (prikk-produkt, dot product) mellom to vektorer gir en skalar

$\begin{align*} \vec{u} \cdot \vec{v} &= u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z \\ \begin{pmatrix}{\red{u_x} \\ \green{u_y} \\ \blue{u_z}}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}{\red{v_x} \\ \green{v_y} \\ \blue{v_z}}\end{pmatrix} &= \red{u_x v_x} + \green{u_y v_y} + \blue{u_z v_z} \\ \end{align*}$

Likningen for et plan

Planet til høyre har a som normalvektor.
VC oppgir at likningen for planet er

$\mathbf{r} \cdot \mathbf{a} = \text{konstant}$
Hvorfor?

$\mathbf{r} \cdot \mathbf{a}$ er lengden av a ganger lengden av r i retning av a (p i figuren). p er den samme for alle posisjonsvektorer i planet så derfor er $\mathbf{r} \cdot \mathbf{a}$ konstant.

Kryss-produkt

$\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}$

$|\vec{w}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin \alpha$

Utledning av kryss-produkt

$\vec{u} \times \vec{v} = (\red{u_x \mathbf{i}} + \green{u_y \mathbf{j}} +\blue{u_z \mathbf{k}}) \times (\red{v_x \mathbf{i}} + \green{v_y \mathbf{j}} +\blue{v_z \mathbf{k}})$

$\require{cancel} \begin{split} &= \red{u_x v_x \cancel{\mathbf{i} \times \mathbf{i}}} + \red{u_x} \green{v_y} {\red{\mathbf{i}} \times \green{\mathbf{j}}} + \red{u_x} \blue{v_z} \red{\mathbf{i}} \times \blue{\mathbf{k}} \\ &+ \green{u_y} \red{v_x} \green{\mathbf{j}} \times \red{\mathbf{i}} + \green{u_y v_y \cancel{\mathbf{j} \times \mathbf{j}}} + \green{u_y} \blue{v_z} \green{\mathbf{j}} \times \blue{\mathbf{k}} \\ &+ \blue{u_z} \red{v_x} \blue{\mathbf{k}} \times \red{\mathbf{i}} + \blue{u_z} \green{v_y} \blue{\mathbf{k}} \times \green{\mathbf{j}} + \blue{u_z v_z \cancel{\mathbf{k} \times \mathbf{k}}} \\ \end{split}$

Bruker at kryss-produktet er distribuert ved addisjon
$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$

$\require{cancel} \begin{split} &= \red{u_x v_x \cancel{\mathbf{i} \times \mathbf{i}}} + \red{u_x} \green{v_y} {\red{\mathbf{i}} \times \green{\mathbf{j}}} + \red{u_x} \blue{v_z} \red{\mathbf{i}} \times \blue{\mathbf{k}} \\ &+ \green{u_y} \red{v_x} \green{\mathbf{j}} \times \red{\mathbf{i}} + \green{u_y v_y \cancel{\mathbf{j} \times \mathbf{j}}} + \green{u_y} \blue{v_z} \boxed{\green{\mathbf{j}} \times \blue{\mathbf{k}}} \\ &+ \blue{u_z} \red{v_x} \blue{\mathbf{k}} \times \red{\mathbf{i}} + \blue{u_z} \green{v_y} \boxed{\blue{\mathbf{k}} \times \green{\mathbf{j}}} + \blue{u_z v_z \cancel{\mathbf{k} \times \mathbf{k}}} \\ \end{split}$

$\green{\mathbf{j}} \times \blue{\mathbf{k}} = \red{\mathbf{i}}, \quad \blue{\mathbf{k}} \times \green{\mathbf{j}} = -\red{\mathbf{i}}$

$\rightarrow (\green{u_y} \blue{v_z} - \blue{u_z} \green{v_y}) \, \red{\mathbf{i}}$

$\require{cancel} \begin{split} &= \red{u_x v_x \cancel{\mathbf{i} \times \mathbf{i}}} + \red{u_x} \green{v_y} {\red{\mathbf{i}} \times \green{\mathbf{j}}} + \red{u_x} \blue{v_z} \boxed{\red{\mathbf{i}} \times \blue{\mathbf{k}}} \\ &+ \green{u_y} \red{v_x} \green{\mathbf{j}} \times \red{\mathbf{i}} + \green{u_y v_y \cancel{\mathbf{j} \times \mathbf{j}}} + \green{u_y} \blue{v_z} {\green{\mathbf{j}} \times \blue{\mathbf{k}}} \\ &+ \blue{u_z} \red{v_x} \boxed{\blue{\mathbf{k}} \times \red{\mathbf{i}}} + \blue{u_z} \green{v_y} {\blue{\mathbf{k}} \times \green{\mathbf{j}}} + \blue{u_z v_z \cancel{\mathbf{k} \times \mathbf{k}}} \\ \end{split}$

$\red{\mathbf{i}} \times \blue{\mathbf{k}} = \green{\mathbf{j}}, \quad \blue{\mathbf{k}} \times \red{\mathbf{i}} = -\green{\mathbf{j}}$

$\rightarrow (\red{u_x} \blue{v_z} - \blue{u_z} \red{v_x}) \, \green{\mathbf{j}}$

Sammendrag av forrige slide

To vektorer $\vec{u}$ og $\vec{v}$ i $\mathbb{R}^3$ spenner ut et plan
Kryssproduktet gir en ny vektor $\vec{a}$ med retning normal til planet
$\vec{a} = \vec{u} \times \vec{v}$
En enhetsvektor $\vec{n}_a$ med lengde 1 og samme retning som $\vec{a}$ skapes med
$\vec{n}_a = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$

Fortsettelse kapittel 1 Skalar og vektorfelt

Fortsettelse kapittel 1

Skalar og vektorfelt

Skalarprodukt

Rigorøst skalarprodukt

Lengden av en vektor

Geometrisk tolkning $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$

Alternativ geometrisk tolkning $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$

Likningen for et plan

Kryss-produkt

Mer om kryss-produkt

Utledning av kryss-produkt

Huskeregel

Ta determinanten av følgende matrise

Normalvektor til plan

Sammendrag av forrige slide

Derivasjon av vektorer

Liten repetisjon av derivasjon

Derivasjon av posisjonsvektor

Øvingsoppgaver i Geogebra