Forelesning 29/1-2020

Skalarfelt og implisitte flater

Gitt en funksjon $f(x,y)$:

$f(x,y) = x^2+y^2-\beta_0$

Geogebra plotter som at $f(x,y)=z$

Ekviskalarflate $\longrightarrow \beta(x,y,z)=z-f(x,y)=0$

Annet eksempel

$ \begin{align*} \beta(x,y,z) &= x^2+y^2+z^2 =\beta_0\\ \longrightarrow z &= \sqrt{\beta_0-x^2-y^2} \end{align*} $

Vi kan mao finne $z$ fra $x, y$ og $\beta_0$.

Idealisert fjelltopp

$ \beta(x,y,z) = z - \frac{h_0}{1+\frac{x^2+y^2}{R^2}} = 0 $

Gradientvektoren står normalt på ekviskalarflater

$ \begin{align*} f(x,y) &= x^2+y^2-\beta_0 \\ \beta(x,y,z) &= z - f(x, y) \\ \nabla \beta &= -\frac{\partial f}{\partial x} \red{\mathbf{i}} - \frac{\partial f}{\partial y} \green{\mathbf{j}} + \blue{\mathbf{k}}\\ \vec{n} &= \frac{\nabla \beta}{|\nabla \beta|} \end{align*} $